книги / Микронапряжения в конструкционных материалах

Изменение интенсивности разрешающих напряжений опреде­ ляется по формулам

T(Xk, 0 =		&kXkt	ХкХк — 1»								(3.193)
		SkXk +	it,	XkX'kФ ± 1;
		цгkXk + skXk -f- (1				+	л )		Xkk’k = —		1»
где положено * = j			+^ ^- F kf k ;			s k =		A 2e pk.
Жесткое нагружение:
В х Н = (Gw- j q			L	F kF t ) f r,			h	=	e k - В Л \
h = 2G(ek - e k),p											(3.194)
где Ght, Fk, Q, dQ и Я*				определяются					по	формулам (3.191).
Для построения области направлений активного микропласти-
ческого	деформирования			в	этом		случае			получаем
Е (%к,	0 <	ehXk;	rhXh -						>	°-	О-195>
Изменение интенсивности разрешающих деформаций опреде­
ляется с использованием формул
		ёк%к,	ХкХ'к =			1;
Е(Хк, 0 =		А%ёркХк +		it,	Хккк Ф =Ь 1'»						(3.196)
		X kXk + В2ёрк% —|—(1 -(- т]) х,								Хккк =	—1,
где положено х = 1 + ьа Fk?к>

Приведенные выше формулы позволяют полностью решить вопрос об описании произвольного мягкого или жесткого нагру­ жения.

Для численной реализации приведенных выше соотношений представим траекторию нагружения (деформирования) в виде многозвенной ломаной. Тогда задача построения соответствующих им траекторий деформирования (нагружения) сведется к задаче нахождения приращений напряжений и деформаций на каждом шаге нагружения и последующего их суммирования. Для вы­ числения интегралов (3.191) использовались квадратурные фор­ мулы типа Гаусса и' изменение интенсивности разрешающих на­ пряжений или деформаций строились в узлах квадратурных фор­ мул. Построение области £2 в обоих случаях осуществлялось ите­ рационным способом, как и в случае плоской траектории нагру­ жения. Отметим одно важное обстоятельство, позволяющее су­ щественно упростить процесс проведения расчетов для траекто­ рии меньшей размерности. Легко заметить из приведенных выше соотношений следующее: если фиксированный девиаторный ба­ зис выбран так, что процесс нагружения (деформирования) будет

101

определен меньшим, чем пять, числом параметров, то соответ­ ственно уменьшится число кратных интегралов в формулах (3.191).

Так, если траектория нагружения деформирования одномерна, т. е. рассматривается процесс произвольного циклического на­ гружения, то для Gmn и Fm находим:

D

О

Остальные Gmn и Fm равны нулю.

В случае, когда рассматривается произвольная плоская траек­ тория нагружения, получаем:

C6i а, (00

a i	а , (0!)
G22 = 2я J	J	sin5 01 cos2 0х sin2 d02 dQг d02;
	D
	ai	a . (0j)

Q 0 a xa . (0!)

Q D

«1 a ,(0 i)

0 0

a , (0j)

0 0

«j a ,(0 i)

Остальные Gmn и Fm равны нулю.

102

Если		траектория			нагружения (деформирования)' трехмерна,
то можем записать]
		о, ctf (е,)		а, (б,, е4)
Q =	2л J		|		f	sin30х sin202sin 0a d0x d02d08;
		Q O			о
		« 1	ot, (0,) a, (0„ 0,)
Fm =		2л J	J		J	Xm sin3 0i sin2 02 sin 0S d0i d02 dQ3;
		0	0		0
		a,	a, (0i)		aj (0„	0.)
Gmn =		2л J	J		[	A,mX,n sin8 0i sin2 0a sin 0S dQt d02 d0s,
		o	o		о
где m,	n = 1, 2,			3.	Остальные Gmn и Fm равны нулю.
На	основании			приведенных выше формул и описанного ал­

горитма была построена программа расчета мягкого и жесткого нагружений в' случае одно-, двух- и трехмерных траекторий на­ гружения деформирования. Проверка работоспособности про­ граммы проводилась на приведенных выше примерах. Во всех без исключения случаях результаты практически совпали с по­ строенными ранее с использованием специальных алгоритмов.

В дополнение к имеющимся результатам были рассмотрены эксперименты по сложному циклическому нагружению, приве­ денные в работе [148 ], и эксперименты в случае трехмерной траек­ тории нагружения [1051.

На рис. 3.18 приведены траектории деформации при простых

инесинфазных циклах, экспериментально осуществленных [148]. Испытывались тонкостенные трубчатые образцы при совместном растяжении (сжатии) осевой силой и кручении.

На рис. 3.19 и 3.20 для сравнения представлены теоретические

иэкспериментальные данные.

При расчетах было принято: G = 77 ГПа; <г0= 154 МПа; Вг — = 2,5; В2 = 0; Ва = 0,002. Приняты следующие обозначения!

103

Is/, МПи

600 -----

/ j.',МПа

m

200

О

10

20

JO Я,°/о

Рис. 3.20

et = ezz\ е8 = 2^ 0/КЗ; ezz, eze — осевая и сдвиговая составляющие!

«г =	Ozzl	о, = V 3azei
	t		t
L	= J	|dejdt \dt;	%. = J |di»/di \dt.
	о		о

Сплошными линиями представлены результаты расчета (за­ висимость модуля вектора напряжения от накопленной пластиче­ ской (или полной) деформации.

На рис. 3.20 использованы обозначения: % — отвечает опыт­ ным данным с Дем/2 = 0,4 %, а О — опытным данным с Де3/2 = = 0,4 % .

На рис. 3.21 приведены экспериментальные результаты [105] деформирования тонкостенных трубчатых образцов при совмест­

ном растяжении, кручении и внутреннем давлении.
Траектория	деформирования — трехзвенная ломаная. Мате­
риал — сталь	45 в состоянии	отжига (постоянные		материала
при расчетах Е = 1,78-108 МПа, у0 =			13,1 •10-4, Bt =	2,74, Ва —
— В3 — 0, щ — l)s S], = ~2~su ; s2 =			У~3 (s22 — s33); s3 =		У 3
ей, st) — девиаторы деформаций		и напряжений.			ломаная
Рассматривается в пространстве O h| 2£3 трехзвенная

ОАВС, показанная на рис. 3.21, а. Для третьего звена вводится

локальный репер			отсчета х,		v, Д по формулам
х = cos		+ sin рё2,		v =	— sin pex + cos рё2,		Д = ё3.
Вектор напряжения определим его модулем | s | = У si-fsl+ sl,
где h =	еп ; | 2=		(е22— е33)/К З; |3 = 2е12/К 3, и				направляющими
косинусами I,		т,	п в локальном репере х,			v, Д?
I =	cos рs? — sin ps2;			т =	sin ps? -f cos ps2;		n = s3,
rfles? =	Sfc/|s| (k — I, 2,			3) — направляющие		косинусы вектора s

в исходном репере ё1г	ё2, ё3.
На рис. 3.21, а сплошными линиями представлены результаты
расчетов по описанной	ранее методике при ОА =	= 100-10'*,

104

6) l,rn,n

AB = |з = 20 ■104. Кривая 1 отвечает одноосному нагружению, а кривые 2—4 — сложному нагружению с углами излома р = = 90, 60, 45° соответственно. Соответствующие им эксперименталь­ ные данные показаны на рис. 3.21, а светлыми кружками, тре­ угольниками и темными кружками.

На рис. 3.21, б—г представлены результаты сопоставления экспериментальных данных (показаны точками) с расчетными (сплошные линии 1—3). Как видно из приведенных графиков, теория микродеформации удовлетворительно описывает экспе­ риментальные результаты по сложному нагружению.

3.13. ОБ УЧЕТЕ ФАЗЫ ПОДОБИЯ ДЕВИАТОРОВ

Выше основное внимание было уделено материалам, начальная локальная поверхность текучести которых подчинялась критерию Мизеса. Еще в работе [1891 были намечены пути уточнения теории пластичности за счет введения в уравнение поверхности теку­ чести третьего инварианта тензора напряжений. Ниже дано развитие теории согласно идее, изложенной в книге В. В. Ново­ жилова «Теория упругости» (Л.: Судостроение, 1958).

Для описания неупругого поведения материалов будем исполь­ зовать связь соосных тензоров, учитывающих фазу подобия де-

105

виаторов. Эти соотношения имеют вид

пг> [c o s (ЗР + ш)			и,	~[/W sin ® ( и, и.	I ь я Л 1
= 2 0	[	COS3P	6 «	V lkbkl ~ т	ЬгЧ	J ’
= Ж	[	cos За	аЧ +	V.aikakl “	Т а* Ч	\

(3.197)

(здесь а’ц, Ь’ц — два соосных девиатора)’,

02 = a’ija'ij, аз = а'ца\ьОк1, Ьз = Ь'цЬ’ц, Ьз = Ь'цЬ^Ь'ьц

2G = У аг/Ь2,		ю = а —р,	sin3P =	-Убь3
				^ /2	■>
				2
sin За =	Уб а3	Я ^ о ^	я	я ^	^	я
	я»/»	т г > Р > - т г .		т г > « > —		Г-

Экспериментально определяемые функции 2G = f\(6а. Р)> © — = /а (^а. Р) полностью решают поставленную задачу, позволяя вы­ числить a'ij через Ь'ц и, наоборот, Ьц через а ц .

Перестроим соотношения (3.197) следующим образом!

а]) = 2G(cos (ob'ij — sin соЬ*ц)\ Ьц =

(cos

+ sin <оац),

(3.198)

где

W k i

btl cos зр 1 у*.

. У *2 а!*аЛ/ , У “2

у*2 б„	.	sin Зр	ЬтЛ •
3	1	Уб	°ц I >
V fl2	.	sin За	aj/ J.
3	+	У б

Соотношения (3.198) более просты и удобны для практического использования, чем (3.197). (В частности отметим, что тензоры Ьц и Ьц, Oij и а*ц ортогональны друг другу.) Учитывая это обстоя­ тельство, окончательную форму связи тензоров ац и Ьц будем записывать так:

ац =	^cos ю		— sin ш y L j ф, (У Ъ ^ р); ю = Ф2(У&2, Р);
Ьц =	(cosю -^ L - + sin ш			Ф3(Уог, а);
	\	У аа	У«а	)
(о =	Ф4(Уа^,	а);	со = а — р.	(3.199)

106

Отметим, что знание функций Фх, Фа позволяет легко вычислить функции Ф3, Ф4, если иметь в виду, что У К = Фх (У К , р), V К = Ф3 (УК, а). Если же потребовать, чтобы

ten			р)/ар
	V*. дФг (УК, р)/д У К ’
то соотношения (3.199) будут градиентального типа!
*	« - ^ *	. 0 ^ ,	1»;	и	, -
.	дФ, (У Ь2,	р) ь*ц .	л/- у		, /	,-г г.
+	------ ар---------аГ ’		у	и	у	LiiLii'

Если, в	частности,	Фх (К^г. Р) = Ф1 (УКч> (Р)), то
tg ® = -	,	У К ф (Р) = ФГ1(У К ) ~ / (KS5),

L tl~ г (УК) [ф(Р)1 ^ + ф,(Р) w ] ’

= K v W F W W / t z ' (УЮ 1

Приведенные выше результаты имеют вполне самостоятельное значение, так как они справедливы для любых соосных тензоров.

Применим их к теории течения. Пусть соосны тензоры de?/ и %ц. (Тензор — тензор активных напряжений.) Тогда при выпол­ нении вспомогательных соотношений

ХИ, — аИ — РФ		dP’n ,	,
		dkйГ + СРИ = а ~Ж~ + Ьг‘
имеем
dzpn =	d<b (УК, p),		X = Oi (Ух», p),
dX =	dfify dzij,	"У%2==V w l .

После ряда элементарных преобразований окончательные соот­ ношения примут следующий вид:

W = C0S(D^ - Sina>^ \

У ^Ф (Р) = /(Х); tg ю = —

А =

Ео = а + Ъ -у= ~ ~ с yj= - рц + ^ = = = = = = - .

107

Аналогичные соотношения можно записать и в случае, когда задается тензор активных деформаций. Полученные соотношения позволяют объяснить ряд известных эффектов, обнаруженных при опытах [148, 185]. Высказанные соображения распространяются и на статистические варианты теории течения.

Г Л А В А 4

ОСНОВЫ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ

Процесс деформирования твердого тела в условиях длитель­ ного нагружения очень важен для техники. Явление медленной текучести твердых тел известно давно. К настоящему времени на­ копился уже обширный материал по исследованию ползучести. Необратимость части деформации ползучести, нелинейная зави­ симость скорости ползучести от напряжения, влияние температуры создавали большие трудности при описании явлений, протекаю­ щих при ползучести. Как известно, теория ползучести долгое время развивалась независимо от теории пластичности, причем, как правило, ползучесть рассматривалась только как проявление нелинейной вязкости твердого тела, сочетающейся с его упруго­ стью. Все это неизбежно приводило к многовариантности теории ползучести (теория старения, течения, упрочнения, наследствен­ ные теории и т. д.). Монографии [90, 119, 155, 1601 дают доста­ точно полное представление о накопившихся к настоящему вре­ мени опытных фактах и о возможностях ряда феноменологических теорий ползучести.

В данной главе при сохранении общих принципов построения теории пластичности формулируются статистические варианты теории ползучести и устанавливается их тесная связь с класси­ ческими вариантами теории ползучести.

4.1. О ВЛИЯНИИ СКОРОСТИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ НА ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ

Большое количество контрастных опытов указывает на значи­ тельную зависимость поведения различных конструкционных ма­ териалов от скорости деформирования. Хорошо известна концеп­ ция Рахматуллина—Тейлора—Кармана [158, 178, 861, по которой постулируется существование единой динамической зависимости между напряжением а и полной деформацией е. Диаграмма а (е), отвечающая более медленным нагружениям, трактуется как

108

результат «сползания» о кривой быстрого нагружения. Эта кон­ цепция позднее была существенно развита Ю. Н. Работновым и

10.В. Суворовой [156]. В противоположность этой точке зрения

В.В. Соколовский [172] и Л. Малверн [118] предложили в ка­ честве основной использовать в определяющих уравнениях диа­ грамму медленного (квазистатического) нагружения. Уравнение состояния записывалось так!

e- = *[<r-f(e)],

(4.1)

где ен — неупругая деформация.

Н.Кристеску [101] обобщил обе точки зрения, записав соот­

ношения между напряжениями и деформациями в виде

в = <р (а, е) а + ф (а, е).

(4.2)

Г. С. Шапиро [193] обратил внимание на недостатки этого уравнения и указал конкретный способ определения из опыта входящих в это уравнение функций. Н. И. Анисимов [1 ] предло­ жил следующую модификацию соотношений»

g (в*) = [о — f (е)]/ф (е),	(4.3)
а Л. А. Толоконников и В. Л. Баранов	[179] уравнение
вн = Н (а, в) F[o — <р (в, в)].	(4.4)

Е.Кремпль [110] определяющее уравнение связи напряжений

идеформаций представил следующим образом!

ёя = [о — f (е)]/{£<р[а — f (е)]}.

(4.5)

Обобщение идей В. В. Соколовского на сложное нагружение проведено впервые П. Пежиной [153]. Его вариант теории запи­ сывается так!

4 « = - ^ г ф ( ^ - 1 ) ’

<4-6 >

где к — параметр упрочнения, зависящий от энергии пластической деформации (С. Кадисский [226 ] предложил считать, что к зави­ сит от интенсивности полной деформации).

Согласно работе [82 ], теорию (4.6) можно представить в следую­ щем виде!

.	def,	.	т *	*	1 /	rfe?/ de1},
оа = ч (Х \х - £ - ;		,(*) =	1 + Ф-*(*);	К =	| /	-£■ -£■;
dk = У de?/de?/ ,						(4.7)

т. е. трактовать теорию Пежины как теорию Рейсса (и = const), и которой предел текучести зависит от интенсивности скорости пластической деформации.

109

В работах [203, 245] Р. Бейли и Е. Орован предложили ис­ пользовать при анализе одноосных нагружений следующую группу определяющих соотношений!

b* = f(o — Р); Р = & (р) ёя — г (р).

(4.8)

В основу этих уравнений положено условие существования двух одновременно идущих процессов — деформационного упроч­ нения и термического возврата. Идеи Р. Бейли и Е. Орована выз­ вали большой поток работ, в которых в том или ином виде кон­ кретизировались и обобщались соотношения (4.8). Отметим статьи [17, 35, 127, 146, 151, 188, 221, 229, 231, 271]. Суть этих работ состоит в том, что в дифференциальные соотношения вводятся одна или две внутренние переменные (структурные параметры). Определяющие соотношения при этом имеют вид

в =	а/Е + ён,	ён = А (ст — <р),	р -f Вгр =	В2ён,
т+Ос —т0)В, = В4ё",				(4.9)
где Вг,	Вг, Вй,	В4 — параметры,	зависящие от о, е", <о, р.
При	анализе	соотношений (4.8) можно		заметить некоторую

аналогию с поведением одномерных вариантов теории пластиче­ ского течения. Поэтому, переходя к перечислению последующих вариантов теории ползучести, мы будем давать им свою интерпре­ тацию, следуя идеям работ [77, 83].

И. 3. Паллей [149] предложил следующую теорию ползучести, обобщающую соотношения (4.8) на сложное нагружение, в которой он пренебрег эффектами возврата:

в?/ = Ф: (^> *) (Oft — р(/); хц = <J(i — pi/; pi/ = фг (<JHi	*) ё"/«
После несложных преобразований эти же соотношения можно
записать в виде
«« = «<*• Ч -Ж -. т т - Ж " . . К, «■ § ■ ,	(4.10)

откуда видно, что теория Паллея — это теория в форме Новожи­ лова—Арутюняна—Вакуленко [4, 136], в которой предел теку­ чести и коэффициент упрочнения зависят от интенсивности скорости пластического (неупругого) деформирования. Такая трактовка позволяет по-новому взглянуть на возможности этого и последую­ щих вариантов теории ползучести. Н. Н. Малинин и Г. М. Хажинский [238] предложили теорию ползучести с анизотропным упрочнением, в которой дополнительно учитывается и возврат механических свойств материала:

= ф{ (ог„т)	;	хп =	ап - pf/; рп = А (а„) ё“/ —
— Фа К . Ри>	т)р|/;	Ри =	У РиРи ■

110